历史上由勾股定理产生的推论和猜想

历史上由勾股定理产生的推论和猜想

数学中有一句口诀大家都耳熟能详，“勾3股4弦5”。它的意思是：直角三角形的两条直角边长度分别是3和4时，它的斜边长度为5。现代研究认为，最早发现这一规律的是古巴比伦人。在中国，据传是商代的商高最早发现了这一规律，《周髀算经》里有记载，记曰：“数之法，出于圆方，方出于矩，距出于九九八十一，故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五”，所以叫勾股定理。古希腊数学家毕达哥拉斯也发现并用演绎法证明了勾3股4弦5规律。由于欧洲文化在近现代的广泛传播，世界上将这一规律称为毕达哥拉斯定理。据说发现和证明这个定理之后，毕达哥拉斯宰了一百头牛来庆祝，所以又叫做百牛定理。

勾股定理的概念是：在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和。

在高中数学必修五教材第一章中，有余弦定理，内容是：。从书上的原话，余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的一种特殊情况。这样，在欧几里德平面的任意三角形中的情况都被考虑到了。

还有一种特殊的三角形，叫曲边三角形。曲边三角形中的边，实际上已经变成了曲线。它的“角度”也不是平时我们所熟知的角度了。对于曲边三角形的性质，我还不是很能理解。所以我产生的猜想仅限于直线构成的三角形。

如果将勾股定理推广到立体中，会怎么样呢？

勾股定理的公式是：a²+b²=c²。有一种证明勾股定理的方法便是证明两个正方形面积之和等于一个大正方形的面积。在立体空间中，给这三个正方形加上第三条边使它们变成正方体，会怎么样呢？由于原正方形满足a²+b²=c²，所以它们的边不会都相等，那么便不会满足a³+b³=c³。那么，换几个正方体就可以满足这个公式了。
于是我取了几组数据，a=1，b=1，c=2(1/3)；a=2，b=1，c=9(1/3)；a=2，b=2，c=16(1/3)。继续向上方取，得a=2，b=3，c=35(1/3)；a=3，b=3，c=54(1/3)……一直向上面取，在a与b都是10以内竟然没有一组数据满足三个数都是自然数。

A4+b4=c4，中，可以看作（a2）2+(b2)2=(c2)2,所以a、b、c应当有数据满足三个数都是自然数。

接下来我又发现，a5+b5=c5，在a与b也是10以内没有一组数据满足三个数都是自然数。

于是我产生了一个猜想：不会有任何三个自然数a、b、c满足an+bn=cn（n为奇数）。

这个猜想其实是初三时候偶然想起的。但是后来看到了“费尔马大定理”，才明白我的猜想是有错误的。“费尔马大定理”是指：an+bn=cn是不可能的（这里n大于2；a，b，c，n都是非零整数）。所以“费尔马大定理”中提出，在A4+b4=c4中也没有满足的自然数,并且凡是2以后的n值都不会有。但是对于这个的理解，是我设计了一个计算程序之后才肯定的。

计算程序使用VB6.0企业版，现将代码显示如下：
PrivateSubCommand1_Click()
Fora=1To1000
Forb=1To1000
c=(a^4+b^4)^(1/4)
Ifc\1=cThen
End
Else
Picture1.Print0;
EndIf
Nextb
Picture1.Print
Nexta
Picture1.Cls
Picture1.Print"终止,未发现有符合数据"
EndSub

这个程序能够判断对于A4+b4=c4中，a、b在1000以内时我的猜想是否正确。如果有三个自然数满足，程序将会自动退出；如果没有，最后将显示“终止，未发现有符合数据”字样。实事证明费尔马对了而我错了。但1000只是无穷多个自然数中无限小的一个范围，用我这种方法，是永远证明不了费尔马大定理的，而只能证明在某一个范围内费尔马大定理是对的。

对于数学家们究竟使用什么方法证明“费尔马大定理”的，限于我知识有限，无法理解明白。1637年，法国业余大数学家费尔马提出这一定理，经过了欧拉等天才数学家的努力仍然无法全部给予证明，而只能证明n<100时的定理是正确的。最后给予完整证明的是英国著名数学家AndrewWiles（安德鲁•威尔斯）。他的证明占满了美国《数学年刊》第142卷，竟然长达130页，这也是要有对数学的极度痴迷和耐心才能够做出来的伟大的成绩。